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如图,线段AB过y轴负半轴上一点M(0,a),A、B两点到y轴距离的差为2k. ...

如图,线段AB过y轴负半轴上一点M(0,a),A、B两点到y轴距离的差为2k.
(Ⅰ)若AB所在的直线的斜率为k(k≠0),求以y轴为对称轴,且过A、O、B三点的抛物线的方程;
(Ⅱ)设(1)中所确定的抛物线为C,点M是C的焦点,若直线AB的倾斜角为60°,又点P在抛物线C上由A到B运动,试求△PAB面积的最大值.

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(1)依题意设所求的抛物线方程为x2=-2py(p>0),直线AB的方程为y=kx+a,由得x2+2pkx+2pa=0 设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<0,x2>0,y1<0,y2<0),x1+x2=-2pk,若|x1|-|x2|=2k可求p (2)解法1:可得直线AB的方程为,解方程组可求点A,B,从而可求AB,设点P(m,n),依题意知,且,根据点P到直线AB的距离=可求面积的最大值 解法2:直线AB的方程为,由得,,x1x2=-1, 以下同法一 (1)【解析】 依题意设所求的抛物线方程为x2=-2py(p>0),----------(1分) ∵直线AB的斜率为k且过点M(0,a)∴直线AB的方程为y=kx+a 由得x2+2pkx+2pa=0----------①------------------(3分) 设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<0,x2>0,y1<0,y2<0) 则x1,x2是方程①的两个实根 ∴x1+x2=-2pk,若|x1|-|x2|=2k 则-x1-x2=2k,-2pk=-2k∴p=1---------------------------(5分) 若|x2|-|x1|=2k则x1+x2=-2pk=2k∴p=-1与p>0矛盾----(6分) ∴该抛物线的方程为x2=-2y.-------(7分) (2)解法1:抛物线x2=-2y的焦点为()即M点坐标为() 直线AB的斜率 ∴直线AB的方程为,-----------------(8分) 解方程组得 即点A,B-------------------(10分) ∴ 设点P(m,n),依题意知,且 则点P到直线AB的距离== 当时,dmax=1,--------------------------------(13分) 这时=.-----------------------(15分) 解法2:抛物线x2=-2y的焦点为()即M点坐标为() 直线AB的斜率 ∴直线AB的方程为, 由得∴,x1x2=-1, ∴=[以下同上]
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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