Question

如图（1）示，定义在D上的函数f（x），如果满足：对∀x∈D，∃常数A，都有f（x）≥A成立，则称函数f（x）在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图（1）、（2）中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零）

（Ⅰ）试判断函数f（x）=x³+在（0，+∞）上是否有下界？并说明理由；
（Ⅱ）又如具有如图（2）特征的函数称为在D上有上界．请你类比函数有下界的定义，给出函数f（x）在D上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在（-∞，0）上是否有上界？并说明理由；
（Ⅲ）已知某质点的运动方程为S（t）=at-2，要使在t∈[0，+∞）上的每一时刻该质点的瞬时速度是以A=为下界的函数，求实数a的取值范围．

Answer

（I）解法1：利用导数确定函数的最小值，即可得出结论；
解法2：利用基本不等式求最值，即可得出结论；
（II）类比函数有下界的定义，看过函数有上界的定义，并可判断（Ⅰ）中的函数在（-∞，0）上有上界；
（III）求导函数，依题意得对∀t∈[0，+∞）有，分离参数求最值，即可得出结论．
【解析】
（Ⅰ）
解法1：∵，由f'（x）=0得，x4=16，∵x∈（0，+∞），
∴x=2，-------------------------------（2分）
∵当0＜x＜2时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，2）上是减函数；
当x＞2时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在（2，+∞）上是增函数；
∴x=2是函数的在区间（0，+∞）上的最小值点，
∴对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，-----------------------------------（4分）
即在区间（0，+∞）上存在常数A=32，使得对∀x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函数在（0，+∞）上有下界．---------------------------（5分）
解法2：∵x＞0∴
当且仅当即x=2时“=”成立
∴对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
即在区间（0，+∞）上存在常数A=32，使得对∀x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函数在（0，+∞）上有下界．]
（Ⅱ）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：
定义在D上的函数f（x），如果满足：对∀x∈D，∃常数B，都有f（x）≤B成立，则称函数f（x）在D上有上界，其中B称为函数的上界．---------------------------（8分）
设x＜0，则-x＞0，由（Ⅰ）知，对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
∴f（-x）≥32，∵函数为奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴-f（x）≥32，∴f（x）≤-32------------------------------------------（9分）
即存在常数B=-32，对∀x∈（-∞，0），都有f（x）≤B，
∴函数在（-∞，0）上有上界．---------------------------（10分）
（Ⅲ）质点在t∈[0，+∞）上的每一时刻的瞬时速度----------------（11分）
依题意得对∀t∈[0，+∞）有
∴对∀t∈[0，+∞）恒成立
令，
∵函数g（t）在[0，+∞）上为减函数．
∴
∴．------------------------------------------------（14分）