Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*S_n=qa_n+1（q＞0，q≠1），m，k∈N^*，且m≠k
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n
（2）试比较S_m+k与的大小
（3）当q＞1时，试比较与的大小．

Answer

（1）当n=1时，a1=S1=qa1+1，由q≠1，知，由此能求出数列{an}的通项公式an．
（2）由，令，所以，由此能推导出．
（3）当，由m≠k，知t2m≠t2k，1-t2m＜0，1-t2k＜0，1-tm+k＜0，由此入手能够推导出．
【解析】
（1）当n=1时，a1=S1=qa1+1，
∵q≠1，∴（1分）
（3分）
∴数列{an}是以首项为，公比为的等比数列，
∴．（4分）
（2）由（1）得（5分）
令，
∴（7分）

故（9分）
（3）当，
∵m≠k，∴t2m≠t2k，1-t2m＜0，
1-t2k＜0，1-tm+k＜0
∴
=（11分）
∵
=（1-tm+k）2
∴（13分）
∴
∴（14分）