Question

如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，tan∠DAC=．现沿对角线BD把△ABD折起，使∠ADC的余弦值为．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面CBD；
（Ⅱ）若M是AB的中点，求AC与平面MCD所成角的一个三角函数值．

Answer

（I）证明平面ABD⊥平面CBD，只需证明AO⊥平面BCD；
（II）建立空间直角坐标系，求出，平面MCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．
（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，tan∠DAC=，AD=10，
∴OA=8，OD=6                    …（1分）
翻折后变成三棱椎A-BCD，在△ACD中，，…（3分）
在△AOC中，OA2+OC2=128=AC2，…（4分）
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，
∴AO⊥平面BCD，
又AO⊂平面ABD，
∴平面ABD⊥平面CBD．                    …（6分）
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，则A（0，0，8），B（0，-6，0），C（8，0，0）D（0，6，0）M（0，-3，4），…（7分），，…（8分）
设平面MCD的一个法向量为，则由，得，…（10分）
令y=4，有，…（11分）
设AC与平面MCD所成角为θ，则，…（13分）
∴AC与平面MCD所成角的余弦值为，…（14分）