Question

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂） 是抛物线C：y²=2px（p＞0）上相异两点，且，直线PQ 与x 轴相交于E．
（Ⅰ）若P，Q 到x 轴的距离的积为4，求p的值；
（Ⅱ）若p为已知常数，在x 轴上，是否存在异于E 的一点F，使得直线PF 与抛物线的另一交点为R，而直线RQ 与x 轴相交于T，且有，若存在，求出F 点的坐标（用p 表示），若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由，知x1x2+y1y2=0，由P、Q在抛物线上，得，y1y2=-4p2⇒|y1y2|=4p2，又|y1y2|=4，故得y2=2x，设E（a，0）（a≠0），直线PQ方程为x=my+a，联立方程，得y2-2pmy-2pa=0．由此能导出该抛物线方程及△OPQ的面积的最小值．
（Ⅱ）设E（a，0），直线PQ方程为x=my+a，联立方程组，得y2-2pmy-2pa=0，由此能导出在x轴上，存在异于E的一点F（6p，0），使得．
【解析】
（Ⅰ）∵，则x1x2+y1y2=0，
又P、Q在抛物线上，故y12=2px1，y22=2px2，故得，
y1y2=-4p2⇒|y1y2|=4p2，又|y1y2|=4，故得4p2=4，p=1．∴y2=2x，…（4分）
设E（a，0）（a≠0），直线PQ方程为x=my+a，联立方程，
消去x得y2-2pmy-2pa=0；∴y1y2=-2pa=-4p2，∴a=2p=2，∴，∴面积最小值为4．…（6分）
（Ⅱ）设E（a，0），直线PQ方程为x=my+a，联立方程组，
消去x得y2-2pmy-2pa=0；∴y1y2=-2pa①
设F（b，0），R（x3，y3），同理可知，y1y3=-2pb②
由①、②可得③
若，设T（c，0），则有（x3-c，y3-0）=3（x2-c，y2-0），∴y3=3y2即④
将④代入③，得b=3a．又由（Ⅰ）知，，y1y2=-4p2，代入①，
可得-2pa=-4p2，a=2p．故b=6p．
故知，在x轴上，存在异于E的一点F（6p，0），使得．…（12分）