Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，则“f（x）是周期函数”的一个充要条件是（ ）
A．f（x）=cos
B．∀α∈R，f（α+x）=f（α-x）
C．f（1+x）=f（1-x）
D．∃α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x）

Answer

根据充要条件的定义，逐一判断四个答案中的条件，与“f（x）是周期函数”的充要关系，比照后即可得到答案．
【解析】
f（x）=cosx，则函数的周期为2π，故“f（x）=cosx”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故A不正确；
∀α∈R，f（α+x）=f（α-x），则任意实数都是函数的周期，故“∀α∈R，f（α+x）=f（α-x）”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故B不正确；
f（1+x）=f（1-x），则函数的周期为2，故“f（1+x）=f（1-x）”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故C不正确；
∃α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x），则函数的周期为2α，故“∃α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x）”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故D正确；
故选D