Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）若AC₁⊥平面A₁BD，求证B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅲ）在（II）的条件下，设AB=1，求三棱B-A₁C₁D的体积．

Answer

（I）连结AB1交A1B于E，连ED．由正方形的性质及三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理可得B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）由AC1⊥平面ABD，结合正方形的性质可证得A1B⊥平面AB1C1，进而A1B⊥B1C1，再由线面垂直的判定定理可得B1C1⊥平面ABB1A1．
（III）由等腰三角形三线合一可得BD⊥AC．再由面面垂直的性质定理得到BD⊥平面DC1A1．即BD就是三棱锥B-A1C1D的高．代入棱锥的体积公式，可得答案．
证明：（I）连结AB1交A1B于E，连ED．
∵ABC-A1B1C1是三棱柱中，且AB=BB1，
∴侧面ABB1A是一正方形．
∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点．
∴在△AB1C中，ED是中位线．
∴B1C∥ED．
又∵B1C⊄平面A1BD，ED⊂平面A1BD
∴B1C∥平面A1BD．…（4分）
（II）∵AC1⊥平面ABD，A1B⊂平面ABD，
∴AC1⊥A1B，
又∵侧面ABB1A是一正方形，
∴A1B⊥AB1．
又∵AC1∩AB1=A，AC1，AB1⊂平面AB1C1．
∴A1B⊥平面AB1C1．
又∵B1C1⊂平面AB1C1．
∴A1B⊥B1C1．
又∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴BB1⊥B1C1．
又∵A1B∩BB1=B，A1B，BB1⊂平面ABB1A1．
∴B1C1⊥平面ABB1A1．…（8分）
【解析】
（III）∵AB=BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC．
∴BD⊥平面DC1A1．
∴BD就是三棱锥B-A1C1D的高．
由（II）知B1C1⊥平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1．
∴BC⊥AB．∴△ABC是直角等腰三角形．
又∵AB=BC=1
∴BD=
∴AC=A1C1=
∴三棱锥B-A1C1D的体积
V=•BD•=•A1C1•AA1=K=…（12分）