Question

在三棱锥M-ABC中，CM⊥平面ABC，MA=MB，NA=NB=NC．
（Ⅰ）求证：AM⊥BC；
（Ⅱ）若∠AMB=60°，求直线AM与CN所成的角．

Answer

（Ⅰ）先证明CM⊥平面ABC，然后利用线面垂直的性质证明AM⊥BC；
（Ⅱ）根据异面直线所成角的定义求直线AM与CN所成的角．
证明：（I）∵NA=NB=NC，
∴N是△ABC外接圆的圆心，可得∠ACB=90°，即BC⊥AC…（2分）
∵CM⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴MC⊥BC…（4分）
∴BC⊥面MAC
∴BC⊥MA…（6分）
（II）取MB的中点P，连结CP，NP，
则NP∥AM，所以∠PNC是直线AM与CN所成的角，…（8分）
令AN=NB=NC=1，
∴AM=2，NP=1，CP=MB=1
在△CPN中，CP=NP=CN=1…（10分）
∴∠PNC=60°…（12分）