Question

已知f（x）=-3x（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在区间（-1，1）上为减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若y=f（x）的极大值点与极小值点之差为2a-3，试求实数a的值．

Answer

（Ⅰ）利用f（x）在区间（-1，1）上为减函数，则f'（x）≤0在区间（-1，1）上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）利用导数求出函数的极大值和极小值，然后由极大值点与极小值点之差为2a-3，求a．
【解析】
（I）∵…（2分）
因为f（x）在区间（-1，1）上为减函数，所以f'（x）≤0在区间（-1，1）上恒成立；
∵f'（x）是开口向上的抛物线，故只须…（5分）
（II）；

且x1＜x2…（7分）
于是f'（x）=2x2-4ax-3=2（x-x1）（x-x2）
当x∈（-∞，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）为增函数；
当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）为减函数；
当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）为增函数；…（10分）
所以x1为极大值点，x2为极小值点，
…（12分）