Question

已知椭圆9x²+2y²=18上任意一点P，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且，点M的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若过定点F（0，2）的直线l交曲线E于不同的两点G，H（点G在点F，H之间），且满足，求直线l的方程．

Answer

（I）设点P（x，y）是椭圆上一点，则Q（x，0），M（x，y）．由已知得：x=x，y=3y代入椭圆方程即可得到曲线E的方程．
（II）设G（x1，y1），H（x2，y2），当直线GH斜率存在时，设直线GH的斜率为k．把直线GH的方程y=kx+2与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，再利用，即可解出k．当直线GH斜率不存在时，不符合题意．
【解析】
（I）设点P（x，y）是椭圆上一点，则Q（x，0），M（x，y）
由已知得：x=x，y=3y代入椭圆方程得9x2+18y2=18，
即x2+2y2=2为曲线E的方程．
（II）设G（x1，y1），H（x2，y2），
当直线GH斜率存在时，设直线GH的斜率为k
则直线GH的方程为：y=kx+2，
代入x2+2y2=2，得：（+k2）x2+4kx+3=0，
由△＞0，解得：k2＞，，，
∵，，又有．
∴
．∴
化为，即10k2=27．
解得：，
∴，
∴直线l的方程为：y=x+2，
当直线GH斜率不存在时，直线的l方程为x=0，
此时矛盾不合题意．
∴所求直线l的方程为：y=x+2．