Question

如图（1）在直角梯形PDCB中，PD∥CB，CD⊥PD，PD=6，BC=3，DC=，A是线段PD的中点，E是线段AB的中点；如图（2），沿AB把平面PAB折起，使二面角P-CD-B成45°角．
（1）求证PA⊥平面ABCD；
（2）求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小．

Answer

（1）由已知中，直角梯形PDCB中，PD∥CB，CD⊥PD，PD=6，BC=3，DC=，A是线段PD的中点，E是线段AB的中点，可得AB⊥PA，AB⊥AD，由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面PAD，进而DC⊥平面PAD，故∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，根据已知中二面角P-CD-B成45°角，可得PA⊥AD，结合PA⊥AB及线面垂直的判定定理，可得PA⊥平面ABCD．
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，分析求出平面PEC和平面PAD的法向量，代入向量坐标公式，即可求出答案．
证明：（1）∵AB⊥PA，AB⊥AD
∴AB⊥平面PAD（2分）
∵AB∥DC∴DC⊥平面PAD，
DC⊥PD，DC⊥AD
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，故∠PDA=45°（4分）
∵PA=AD=3，∠PDA=45°，∴PA⊥AD
又∵PA⊥AB，∴PA⊥平面ABCD（6分）
【解析】
（2）如图建立空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（，0，0），C（，3，0），
D（0，3，0），P（0，0，3），E（，0，0）（8分）
由（1）知=（，0，0）是平面PAD的法向量，
设平面PEC的法向量为=（x，y，z），
则，得（10分）
由，
令z=1得=（，-1，1），（12分）
设向量与所成的角为θ，
则：
∴向量与所成的角为30°，（13分）
故平面PEC和平面PAD所成的二面角为30°．（14分）