Question

用S_m→n表示数列{a_n}从第m项到第n项（共n-m+1项）之和．
（1）在递增数列{a_n}中，a_n与a_n+1是关于x的方程x²-4nx+4n²-1=0（n为正整数）的两个根．求{a_n}的通项公式并证明{a_n}是等差数列；
（2）对（1）中的数列{a_n}，判断数列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k的类型，并证明你的判断．

Answer

（1）解方程x2-4nx+4n2-1=0可求得方程的两根x1=2n-1，x2=2n+1，利用{an}是递增数列，即可知an=2n-1，an+1=2n+1，从而可证得{an}是等差数列；
（2）依题意，可求得S3k-2→3k与S3（k+1）-2→3（k+1），利用等差数列的定义即可判断数列S1→3，S4→6，S7→9，…，S3k-2→3k为等差数列．
【解析】
（1）解方程x2-4nx+4n2-1=0得x1=2n-1，x2=2n+1…（2分）
∵{an}是递增数列，
∴an=2n-1，an+1=2n+1，an+1-an=2…（4分）
∴数列{an}是等差数列，其通项公式是an=2n-1（n为正整数）…（6分）
（2）当k为正整数时，S3k-2→3k=a3k-2+a3k-1+a3k=18k-9…（8分）
S3（k+1）-2→3（k+1）=18（k+1）-9=18k+9，…（10分）
∴S3（k+1）-2→3（k+1）-S3k-2→3k=18（常数）   …（12分）
∴数列S1→3，S4→6，S7→9，…，S3k-2→3k是等差数列．…（14分）