Question

设函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1（x∈R）的最大值为M，最小正周期为T．
（Ⅰ）求M及T；
（Ⅱ）写出f（x）的单调区间；
（Ⅲ）10个互不相等的正数x_i满足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），求x₁+x₂+…+x₁₀的值．

Answer

（I）利用二倍角、辅助角公式化简函数，可得M及T；
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性，可写出f（x）的单调区间；
（Ⅲ）由f（xi）=2，可得，从而可得结论．
【解析】
∵==（4分）
（Ⅰ）M=2，；                                       （6分）
（Ⅱ）f（x）的单调增区间为，（8分）
f（x）的单调减区间为；         （10分）
（Ⅲ）∵f（xi）=2，
∴，（12分）
又0＜xi＜10π（i=1，2，…，10），
∴．（14分）