Question

在△ABC中，a，b，c是内角，A，B，C的对边，且tanB•cosC=2sinA-sinC．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若，求b的最小值．

Answer

（I）将已知中的“切”化“弦”，逆用两角和的正弦及诱导公式可求得cosB=，从而可知角B的大小；
（Ⅱ）利用向量的数量积•=-可求得ac=1，再利用余弦定理与基本不等式即可求得b的最小值．
【解析】
（ I）原式可化为sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB…（1分）
∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
∴sinA=2sinAcosB，
∵A∈（0，π），
∴sinA≠0，
∴cosB=…（5分）
∴B=…（6分）
∴
（ II）•=accos（π-）=-ac=-，
∴ac=1…（8分）
由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=1，
∴bc≥1．
即b的最小值是1（此时△ABC为边长是1的等边三角形）…．（12分）