Question

已知集合{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中最大的数与后一个集合中最小的数是连续奇数．
（I）求第n个集合中最小的数a_n的表达式；
（Ⅱ）设b_n=，求数列{}的前n项和T_n．

Answer

（I）设第n个集合中最小的数为an，则第n-1个集合中最小的数为an-1，依题意，可求得an与an-1之间的关系，利用累加法即可求得an的表达式；
（Ⅱ）由（I）知an=n2-n+1，从而可知bn=n-1；于是Tn=+++…+=++…+，利用错位相减法即可求得Tn．
解（ I）设第n个集合中最小的数为an，则第n-1个集合中最小的数为an-1．
又第n-1个集合中共有n-1个数，且依次增加2，
∴an-1+2（n-1）=an，即an-an-1=2（n-1）（n≥2）…4分
∴an-1-an-2=2（n-2），
an-2-an-3=2（n-3）…
a2-a1=2．
以上各式相加得an-a1=2×=n2-n，
又a1=1，
∴an=n2-n+1（n≥2）…6分
验证n=1时a1适合上式
∴an=n2-n+1…7分
（ II）∵an=n2-n+1，
∴bn===n-1…8分
∴Tn=+++…+=++…+①
又Tn=+++…++②
①-②得，Tn=+++…+-
∴Tn=2×-=2--
即Tn=2--…12分