Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=，D为棱CC₁的中点．
（I）证明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求三棱锥A-A₁B₁O的体积；
（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁？证明你的结论．

Answer

（I）由直棱柱的结构特征结合已知及线面垂直的判定定理可得BC⊥平面ACC1A1，再由BC∥B1C1，可得B1C1⊥A1C，解Rt△ABC可得四边形ACC1A1为正方形，再由线面垂直的判定定理得到A1C⊥平面AB1C1；
（Ⅱ）求出三角形A1OA的面积及棱锥的高B1C1，利用等积法，代入棱锥体积公式，可得三棱锥A-A1B1O的体积；
（Ⅲ）取BB1的中点F，连EF，FD，DE，由三角形中位线定理及线面平行的判定定理，可证得：当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1．
证明：（ I）∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC
∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴BC⊥CC1
∵AC∩CC1=C，AC，CC1⊂平面ACC1A1，
∴BC⊥平面ACC1A1
∵A1C⊂平面ACC1A1，
∴BC⊥A1C
∵BC∥B1C1，则B1C1⊥A1C
∵Rt△ABC中，AB=2，BC=1，
∴
∵，
∴四边形ACC1A1为正方形
∴A1C⊥AC1
∵B1C1∩AC1=C1，B1C1，AC1⊂平面AB1C1
∴A1C⊥平面AB1C1…（4分）
解（ II）∵
又B1C1为三棱锥B1-A1AO的高且B1C1=1
∴
证明：（ III）当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1
证明如下：
如图取BB1的中点F，连EF，FD，DE
∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点；
∴EF∥AB1
∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1
∴EF∥平面AB1C1
同理可证FD∥平面AB1C1
∵EF∩FD=F
∴平面EFD∥平面AB1C1
∵DE⊂平面EFD
∴DE∥AB1C1…．（12分）