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已知椭圆过点,且离心率为,A、B是椭圆上纵坐标不为零的两点,若,且,其中F为椭圆...

已知椭圆manfen5.com 满分网过点manfen5.com 满分网,且离心率为manfen5.com 满分网,A、B是椭圆上纵坐标不为零的两点,若manfen5.com 满分网,且manfen5.com 满分网,其中F为椭圆的左焦点.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求A、B两点的对称直线在y轴上的截距的取值范围.
(Ⅰ)因为椭圆的离心率为,所以=,因为椭圆过(1,),所以把(1,)代入椭圆方程成立,再根据a,b,c的关系式,就可解出a,b的值,求出椭圆的方程. (Ⅱ)先设出AB方程,与椭圆方程联立,求A,B点横坐标之和,纵坐标之和,再用A,B点坐标表示AB中点坐标,根据线段AB的垂直平分线过AB中点,且垂直AB,斜率是AB斜率的负倒数,即可写出线段AB的垂直平分线方程,再令x=0,得到纵截距,用均值不等式求范围即可. 【解析】 (Ⅰ)由已知得,,解得a2=4,b2=3 ∴椭圆的方程为 (Ⅱ)A,B是椭圆上纵坐标不为零的两点, ∴A,F,B三点共线,且直线AB的斜率存在且不为0 又F(-1,0),可记AB方程为y=k(x+1),代入椭圆的方程,化简,得 (3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,显然△>0 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为M(x,y), 则x==,y=k(x+1)= 直线AB的垂直平分线方程为y-y=-(x-x) 令x=0,得,y=-=- ∵|4k+|≥4,当且仅当|k|=时取“=“ ∴4k+≥4或4k+≤-4 ∴线段AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围为[-,0]∪(0,].
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考点分析:
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中,正确的命题序号是______.(将正确命题序号都填上)
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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