Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为线段DD₁，BD的中点．
（1）求三棱锥E-ADF的体积；
（2）求异面直线EF与BC所成的角．

Answer

（1）由题意，可得DE=1为三棱锥E-ADF的高，再算出△ADF的面积S，结合锥体体积公式即可算出三棱锥E-ADF的体积；
（2）连接BC1、BD1，根据异面直线所成角定义和三角形中位线定理，可得∠CBD1（或其补角）就是异面直线EF与BC所成的角．然后在Rt△BCD1中，算出∠CBD1的正切值，即可得到异面直线EF与BC所成的角等于arctan．
【解析】
（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，E为线段DD1的中点．
∴DE⊥平面ADF，且DE=1为三棱锥E-ADF的高
∵F是BD的中点
∴△ADF的面积S=S△ABD=SABCD=1
因此，三棱锥E-ADF的体积为V=×S△ADF×DE=×1×1=
（2）连接BC1、BD1
∵EF是△BDD1的中位线，
∴EF∥BD1，可得∠CBD1（或其补角）就是异面直线EF与BC所成的角．
∵BC⊥平面C1D1DC，CD1⊂平面C1D1DC，
∴Rt△BCD1中，tan∠CBD1===
可得∠CBD1=arctan（锐角）
因此，异面直线EF与BC所成的角等于arctan．