Question

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，侧棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（Ⅰ）求证：B₁B∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求二面角B₁-AD₁-C的余弦值．

Answer

（I）以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图，分别求出直线B1B和直线D1E的方向向量，判定两直线平行后，根据线面垂直的性质定理可得B1B∥平面D1AC；
（ II）分别求出平面AB1D1的法向量和平面D1AC的一个法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
【解析】
以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图，
则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），
B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）．…（3分）
（Ⅰ）证明：设AC∩BD=E，连接D1、E，
则有，
所以B1B∥D1E，
∵BB⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC，
∴B1B∥平面D1AC；…（6分）
（ II），
设为平面AB1D1的法向量，
．
于是令x=1，则y=-1，z=1．
则…（8分）
同理可以求得平面D1AC的一个法向量，…（10分）
．
∴二面角B1-AD1-C的余弦值为．…（12分）