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过点P(1,0)作曲线C:y=xk(x∈(0,+∞),k∈N*,k>1)的切线,...

过点P(1,0)作曲线C:y=xk(x∈(0,+∞),k∈N*,k>1)的切线,切点为M1,设M1在x轴上的投影是点P1;又过点P1作曲线C的切线,切点为M2,设M2在x轴上的投影是点P2;…;依此下去,得到一系列点M1,M2,…Mn,…;设它们的横坐标a1,a2,…,
an…构成数列为{an}.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求证:manfen5.com 满分网
(Ⅲ)当k=2时,令manfen5.com 满分网,求数列{bn}的前n项和Sn
(Ⅰ)对y=xk求导数,得y′=kxk-1,切点是Mn(an,ank)的切线方程是y-ank=kank-1(x-an).当n=1时,;当n>1时,得.由此能求出数列{an}的通项公式. ( II)应用二项式定理,得. ( III)当k=2时,an=2n,数列{bn}的前n项和Sn=,利用错位相减法能够得到Sn=. 【解析】 (Ⅰ)对y=xk求导数, 得y′=kxk-1, 点是Mn(an,ank)的切线方程是y-ank=kank-1(x-an).…(2分) 当n=1时,切线过点P(1,0), 即0-a1k=ka1k-1(1-a1), 得; 当n>1时,切线过点Pn-1(an-1,0), 即0-ank=kank-1(an-1-an), 得. 所以数列{an}是首项,公比为的等比数列, 所以数列{an}的通项公式为.…(4分) ( II)应用二项式定理,得.…(8分) ( III)当k=2时,an=2n, 数列{bn}的前n项和Sn=, 同乘以,得=, 两式相减,…(10分) 得=, 所以Sn=.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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