Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=，E、F分别为线段PD和BC的中点
（I）求证：CE∥平面PAF；
（Ⅱ）求三棱锥P-AEF的体积．

Answer

（I）取PA中点H，连接CE，HE，FH，证明四边形FCEH是平行四边形，可得EC∥HF，利用线面平行的判定定理，可得结论；
（II）证明PA⊥平面ABCD，利用三棱锥P-AEF的体积VP-AFD，可得结论．
（I）证明：取PA中点H，连接CE，HE，FH
∵H，E分别为PA，PD的中点，
∴HE∥AD，HE=AD
∵ABCD是平行四边形，F为BC的中点，
∴FC∥AD，FC=AD
∴HE=FC，HE∥FC
∴四边形FCEH是平行四边形
∴EC∥HF
∵EC⊄平面PAF，HF⊂平面PAF
∴CE∥平面PAF；
（II）【解析】
∵底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，
∴CA⊥AD
∵PA=BC=1，AB=
∴AC=1
∴S△AFD==
∵PA=AD=1，PD=
∴PA⊥AD
∴PA⊥平面ABCD，
∴VP-AFD==
∵E是PD的中点，
∴三棱锥P-AEF的体积VP-AFD=．