Question

如图：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面正三角形ABC的边长为3，D为侧棱BB₁的中点，且DB=2，∠ABD=90°，DA=DC．
（1）证明：平面AC₁D⊥平面AA₁C₁C；
（2）求三棱锥A₁-AC₁D的体积．

Answer

（1）通过△ABD≌△CBD易证DB⊥平面ABC，从而有CC1⊥平面ABC；设AC1的中点为M，AC的中点为N，连接DM、DN和BN，可证得DM⊥平面AA1C1C，利用面面垂直的判定定理即可证得平面AC1D⊥平面AA1C1C；
（2）由（1）易知△AA1C1的面积为6，从而可求得三棱锥A1-AC1D的体积．
（1）证明：∵DA=DC，DB=DB，BA=BC，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ABD=∠CBD=90°，即DB⊥BA，DB⊥BC，又BA∩BC=B，
∴DB⊥平面ABC，即BB1⊥
∴CC1⊥平面ABC，…4分
设AC1的中点为M，AC的中点为N，连接DM、DN和BN，则MN∥CC1且MN=CC1，
又∵BD∥CC1且BD=CC1，
∴MNBD，即四边形MNBD为平行四边形，
∴MD∥BN，又△ABC为正三角形，
∴BN⊥AC，
又∵CC1⊥平面ABC，
∴CC1⊥BN，又CC1∩CA=C，
∴BN⊥平面AA1C1C，
∴DM⊥平面AA1C1C，
又DM⊆平面AC1D，
∴平面AC1D⊥平面AA1C1C；…9分
（2）∵△AA1C1的面积为6，
∴三棱锥A1-AC1D的体积V=×6×DM=2BN=3…12分