Question

设a为正实数，函数f（x）=x³-ax²-a²x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数y=f（x）至多有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）对函数求导，由题意可得，令f'（x）=3x2-2ax-a2=0，得，讨论函数的单调性得到函数的极值；
（2）分类讨论，当极小值f（a）=1-a3≥0，或极小值f（a）=1-a3＜0，函数的零点个数，
进而得到函数y=f（x）至多有两个零点时，实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由f（x）=x3-ax2-a2x+1，得f'（x）=3x2-2ax-a2．（2分）
令f'（x）=3x2-2ax-a2=0，得，

x a （a，+∞）
f（x） + - +
 f（x） 增 极大 减 极小 增

（5分）
∴（6分）
（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）在上递增，在上递减，在（a，+∞）上递增，
，（9分）
当极小值f（a）=1-a3≥0，即0＜a≤1时，y=f（x）在上有1个或0个零点，
此时f（-1）=a2-a=a（a-1）≤0，∴y=f（x）在上有1个零点，
∴0＜a≤1时，y=f（x）有1个或2个零点；                         （11分）
当极小值f（a）=1-a3＜0，即a＞1时，y=f（x）在上有2个零点，
此时f（-a）=1-a3＜0，y=f（x）在上有1个零点，
∴当a＞1时，y=f（x）有3个零点；                                 （13分）
综上，若函数y=f（x）至多有两个零点，则a的取值范围是a∈（0，1]．（14分）