Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，D为AC的中点．
（I）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）若AC₁⊥平面A₁BD，求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅲ）在（II）的条件下，求二面角B-A₁C₁-D的大小．

Answer

（I）利用三角形中位线的性质，证明B1C∥ED，利用线面平行的判定，可得B1C∥平面A1BD；
（II）证明A1B⊥B1C1，BB1⊥B1C1，利用线面垂直的判定，即可得出结论；
（III）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．
（I）证明：连结AB1交A1B于E，连ED．
∵ABC-A1B1C1是三棱柱中，且AB=BB1，
∴侧面ABB1A是一正方形．
∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点．
∴在△AB1C中，ED是中位线．
∴B1C∥ED．∴B1C∥平面A1BD．…（4分）
（II）证明：∵AC1⊥平面ABD，∴AC1⊥A1B，
又∵侧面ABB1A是一正方形，∴A1B⊥AB1．
∴A1B⊥平面AB1C1．∴A1B⊥B1C1．
又∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1．
∴B1C1⊥平面ABB1A1．…（8分）
（III）【解析】
由上问知B1C1⊥平面ABB1A1．∴BC⊥平面ABB1A1．∴BC⊥AB．
以BA、BC、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
不妨设AB=BC=BB1=1，则显然B、D、A1、C1各点的坐标分别是
B（0，0，0），D（），A1（1，0，1），C1（0，1，1）．

由图形可知二面角B-A1C1-D的平面角为锐角，
∴二面角B-A1C1-D的大小为．…（12分）