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如图,已知几何体的下部是一个底面是边长为2的正六边形、侧面全为正方形的棱柱,上部...

如图,已知几何体的下部是一个底面是边长为2的正六边形、侧面全为正方形的棱柱,上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥,其侧棱长都为manfen5.com 满分网
(1)证明:DF1⊥平面PA1F1
(2)求异面直线DF1与B1C1所成角的余弦值.

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(1)由题意可得:AF⊥FF1并且AF⊥DF,再根据线面垂直的判定定理可得:AF⊥平面DFF1.即可得到A1F1⊥DF1,再根据线段的长度关系形成直角三角形进而得到:DF1⊥PF1;再结合线面垂直的判定定理得到线面垂直. (2)根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系,分别求出两条直线所在的向量,再结合向量之间的有关运算得到向量的夹角,进而转化为两条异面直线的夹角. 【解析】 (1)∵侧面全为矩形,∴AF⊥FF1; 在正六边形ABCDEF中,AF⊥DF,…(1分) 又DF∩FF1=F,∴AF⊥平面DFF1;        …(2分) ∵AF∥A1F1,∴A1F1⊥平面DFF1; 又DF1⊂平面DFF1,∴A1F1⊥DF1;…(5分) 在△DFF1中,FF1=2,,∴DF1=4, 又; ∴在平面PA1ADD1中,如图所示,, ∴DF12+PF12=PD2,故DF1⊥PF1;                        …(7分) 又A1F1∩PF1=F1,∴DF1⊥平面PA1F1.             …(8分) (2)以底面正六边形ABCDEF的中心为坐标原点O,以OD为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 所以D(0,2,0),,,, ∴,,…(11分) 设异面直线DF1与B1C1所成角为θ,则, ∴…(13分) 异面直线DF1与B1C1 所成角的余弦值为.                                  …(14分)
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考点分析:
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65,84,76,70,56,81,87,83,91,75,81,88,80,82,93,85,90,77,86,81,83,82,82,64,79,86,68,71,89,96.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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