Question

已知数列{a_n}，{b_n}中，对任何正整数n都有：a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1．
（1）若数列{b_n}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是否为等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由；   
（3）求证：．

Answer

（1）仿写等式，两式相减得到 anbn=n•2（n-1）利用等比数列的通项公式求出bn=2（n-1）代入求出an=n
（2）由 anbn=n•2（n-1） 得到 an=，，，利用等差中项的定义得到
等式，判断出数列{bn}不是等比数列．
（3）求出，通过放缩法得到要证的不等式．
【解析】
（1）因为a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=（n-1）•2n+1．
所以a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=（n-2）•2n-1+1．
两式相减 anbn=（2n-2-n+2）•2（n-1）=n•2（n-1）
因为{bn} 数列是首项为1，公比为2的等比数列则bn=2（n-1）
所以an=n （2）{an}是等差数列 anbn=（2n-2-n+2）•2（n-1）=n•2（n-1）
所以 an=，
，
，
{an}是等差数列 2a（n-1）=a（n-2）+an 即）

若{bn}是等比数列，
则b（n-1） 2=b（n-2）•bn 两式显然不合
所以数列{bn}不是等比数列
（3）aibi=i•2（i-1） 所以
所以=

=
=得证．