Question

已知数列{a_n}中，a₁=，点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，其中n=1，2，3，…．
（1）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项．

Answer

（1）由题设条件，令n=1，得a2=，a2-a1-1=--1=-，再由bn=an+1-an-1，bn+1=an+2-an+1-1，得到==．所以bn}是等比数列．
（2）由an+1-an-1=-×，知a2-a1-1=-×，a3-a2-1=-×，an-an-1-1=-×，将以上各式相加得到数列{an}的通项．
【解析】
（1）证明：a1=，2an+1=an+n，
∵a2=，a2-a1-1=--1=-，
又bn=an+1-an-1，bn+1=an+2-an+1-1，
∴=
===．
bn=-×（）n-1=-×，
∴{bn}是以-为首项，以为公比的等比数列．
（2）∵an+1-an-1=-×，
∴a2-a1-1=-×，
a3-a2-1=-×，
∴an-an-1-1=-×，
将以上各式相加得：
∴an-a1-（n-1）=-（+++），
∴an=a1+n-1-×
=+（n-1）-（1-）=+n-2．
∴an=+n-2．