Question

设x=log₂（sinθ+cosθ），θ∈（0，）．
（I）求x的取值范围；
（Ⅱ）设y=，试问当θ变化时，y有没有最小值，如果有，求出这个最小值，如果没有，说明理由．

Answer

（I）利用三角函数的辅助角公式可求得x=，0＜θ＜，利用正弦函数的单调性与最值及对数函数的单调性即可求得x的取值范围；
（Ⅱ）设u（x）=x+，则u′（x）=1-，依题意，可求得0＜x≤时，u′（x）＜0，从而可对题目要求作出判断．
【解析】
（Ⅰ）x=log2（sinθ+cosθ）=，…（2分）
∵0＜θ＜，
∴＜θ+＜，…（4分）
∴1＜sin（θ+）≤，即0＜x≤．…（7分）
（Ⅱ）设u（x）=x+，则u′（x）=1-，…（8分）
当0＜x≤时，u′（x）＜0，
故u（x）在（0，]上是减函数．               …（11分）
∴当x=时，u（x）有最小值，
∴y=当θ变化时，ymin==．  …（14分）