Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为DD₁的中点，O为AC的中点，AB=2．
（I）求证：BD₁∥平面ACM；
（Ⅱ）求证：B₁O⊥平面ACM；
（Ⅲ）求三棱锥O-AB₁M的体积．

Answer

（I）利用线面平行的判定定理证明BD1∥平面ACM；
（Ⅱ）利用线面垂直的判定定理证明B1O⊥平面ACM；
（Ⅲ）利用锥体的体积公式求体积．
【解析】
（I）证明：
连结BD，设BD与AC的交点为O，
∵AC，BD为正方形的对角线，故O为BD中点；
连结MO，
∵O，M分别为DB，DD1的中点，
∴OM∥BD1，…（2分）
∵OM⊂平面ACM，BD1⊄平面ACM…（3分）
∴BD1∥平面ACM．   …（4分）
（II）∵AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥DD1；且BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1B1…（6分）
OB1⊂平面BDD1B1，∴B1O⊥AC，…（7分）
连结B1M，在△B1MO中，，，，
∴，
∴B1O⊥OM…（10分）
又OM∩AC=O，∴B1O⊥平面AMC；          …（11分）
法二：∵，∠ODM=∠B1BO=90°，
∴△MDO∽△OBB1，
∴∠MOD=∠OB1B，∠MOD+∠B1OB=90°，
∴B1O⊥OM．
（Ⅲ）可证AO⊥平面OB1M，则．