Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差数列{b_n}中，b_n＞0（n∈N^*）且b₁+b₂+b₃=15，又a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列．求数列{a_n}、{b_n}的通项公式．

Answer

（1）要利用恒等式an+1=2Sn+1构造出an=2Sn-1+1两者作差得出an+1=3an，求出数列{an}；
（2）有等差数列的性质求出b2=5，进而求出公差和首项，即可求出通项公式．
【解析】
（1）当n≥2时，由an+1=2Sn+1得an=2Sn-1+1，两式相减得
an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an，整理得=3，
a2=2S1+1=3，∴=3满足上式．                   
∴{an}是以1为首项，3为公比的等比数列．
∴an=3n-1                   
（2）由条件知：b2=5，故（1+b1）（9+b3）=64               
即（6-d）（14+d）=64，解得d=2或d=-10（舍），故b1=3     
∴bn=b1+（n-1）d=2n+1