Question

设=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），f（x）=•，x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈[-，]，求x的值．
（2）若函数g（x）=cos（ωx-）+k（ω＞0，k∈R）与f（x）的最小正周期相同，且g（x）的图象过点（，2），求函数g（x）的值域及单调递增区间．

Answer

（1）根据向量数量积的坐标公式，结合三角恒等变换化简得f（x）=2sin（2x+）+1．由此解f（x）=0得出sin（2x+）=-，再由x的范围即可算出x=-；
（2）g（x）与f（x）的最小正周期相同，可得ω=2．再由（，2）在g（x）图象上，代入表达式解出k=1，得到g（x）=cos（2x-）+1，结合三角函数的图象与性质，即可得出g（x）的值域及单调递增区间．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=•=2cos2x+sin2x
=1+cos2x+sin2x=2sin（2x+）+1                      …（3分）
由f（x）=0，得2sin（2x+）+1=0，可得sin（2x+）=-，…（4分）
又∵x∈[-，]，∴-≤2x+≤                       …（5分）
∴2x+=-，可得x=-                                 …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（2x+）+1，
因为g（x）与f（x）的最小正周期相同，所以ω=2，…（7分）
又∵g（x）的图象过点（，2），∴cos（2×-）+k=2，
由此可得1+k=2，解得 k=1，…（8分）
∴g（x）=cos（2x-）+1，其值域为[0，2]，…（9分）
2kπ-π≤2x-≤2kπ，（k∈Z）…（10分）
∴kπ-≤x≤kπ+，（k∈Z），…（11分）
所以函数的单调增区间为[kπ-，kπ+]，（k∈Z）．…（12分）