Question

在正三棱锥A-BCD中，E、F分别为棱AB、CD的中点，设EF与AC所成角为α，EF与BD所成角为β，则α+β等于（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

取AD的中点G，连结EG、FG，取BD的中点H，连结AH、CH．由线面垂直的判定与性质，证出BD⊥AC．由三角形中位线定理，得到∠EGF就是异面直线AC、BD所成的角，即∠EGF=．且∠EFG和∠FEG分别等于EF与ACBD所成角，由此在Rt△EFG中算出∠EFG+∠FEG=，即得得α+β的值．
【解析】
取AD的中点G，连结EG、FG，取BD的中点H，连结AH、CH
∵AD是等腰△ABD与等腰△BCD公共的底面，H为BD中点
∴AH⊥BD且CH⊥BD
∵AH、CH是平面ACH内的相交直线
∴BD⊥平面ACH，可得BD⊥AC
∵EG是△ABD的中位线，
∴EG∥BD，同理可得FG∥AC
因此，得到∠EGF就是异面直线AC、BD所成的角，即∠EGF=
∵EF与AC所成角为α=∠EFG，EF与BD所成角为β=∠FEG
∴Rt△EFG中，∠EFG+∠FEG=，可得α+β=
故选：D