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已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,右顶点为D(2...

manfen5.com 满分网已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为manfen5.com 满分网,右顶点为D(2,0),设点manfen5.com 满分网
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程;
(3)过原点O的直线交椭圆于点B,C,求△ABC面积的最大值.
(1)由“左焦点为,右顶点为D(2,0)”得到椭圆的半长轴a,半焦距c,再求得半短轴b最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程. (2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x,y),由中点坐标公式,分别求得x,y,代入椭圆方程,可求得线段PA中点M的轨迹方程. (3)分直线BC垂直于x轴时和直线BC不垂直于x轴两种情况分析,求得弦长|BC|,原点到直线的距离建立三角形面积模型,再用基本不等式求其最值. 【解析】 (1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为 (2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x,y), 由得 由,点P在椭圆上,得, ∴线段PA中点M的轨迹方程是. (3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2, 因此△ABC的面积S△ABC=1. 当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入, 解得B(,),C(-,-), 则,又点A到直线BC的距离d=, ∴△ABC的面积S△ABC= 于是S△ABC= 由≥-1,得S△ABC≤,其中,当k=-时,等号成立. ∴S△ABC的最大值是.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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