Question

已知R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx（a＜b＜c），在x=1时取得极值，且y=f（x）的图象上有一点处的切线斜率为-a．
（1）证明：0≤＜1；
（2）若f（x）在区间（s，t）上为增函数，证明：1≥t＞s＞-2且t-s＜3；
（3）对任意满足以上条件的a，b，c，若不等式f′（x）+a＜0对任意x≥k恒成立，求k的取值范围．

Answer

（1）求导函数，利用函数在x=1时取得极值，a＜b＜c，结合关于x的方程f′（x）=-a有根，即可得出结论；
（2）程f′（x）=ax2+bx-（a+b）=0的两根为1和，当且仅当时，f′（x）＞0，可得f（x）在上为增函数，即可得出结论；
（3）若f′（x）+a=ax2+bx-b=a（）＜0对a、b恒成立，换元，变换主元，即可得出结论．
（1）证明：求导函数，可得f′（x）=ax2+bx+c，
∵函数在x=1时取得极值，
∴a+b+c=0，
∵函数在x=1时取得极值，
∵a＜b＜c，
∴a＜b＜-（a+b），
∴-＜＜1
∵切线斜率为-a，则关于x的方程f′（x）=-a有根，
即ax2+bx-b=0有根，
∴b2+4ab=b（4a+b）≥0
∴或
∵-＜＜1
∴0≤＜1；
（2）证明：方程f′（x）=ax2+bx-（a+b）=0
∴b2+4a（a+b）＞0
∵f′（1）=0
∴方程f′（x）=ax2+bx-（a+b）=0的两根为1和
当且仅当时，f′（x）＞0
∴f（x）在上为增函数，
∴1≥t＞s≥＞-2且0＜t-s≤＜3；
（3）【解析】
若f′（x）+a=ax2+bx-b=a（）＜0对a、b恒成立，
设∈[0，1），则g（t）=（x-1）t+x2＞0对t∈[0，1）恒成立，
即g（1）≥0，g（0）＞0恒成立 
解得x≤或x≥，
∴．