Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，F为右焦点，M、N两点在椭圆C上，且（λ＞0）定点A（-4，0）
（I）求证：当λ=1时，有；
（Ⅱ）若λ=1时，有，求椭圆C的方程．
（Ⅲ）在（Ⅱ）确定的椭圆C上，当×tan∠MAN的值为6时，求直线MN的方程．

Answer

（I）设M（x1，y1），N（x2，y2），F（c，0）通过λ=1时，=，M、N两点在椭圆上，求出x1=x2，然后通过数量积证明．
（II）当λ=1时，不妨设M（c，），N（c，-），通过λ=1时，有•，求出a，b，得到椭圆的方程．
（III）由×tan∠MAN=2S△AMN=|AF||y1-y2|，分别讨论当直线MN与x轴垂直时和当直线MN与x轴不垂直时，满足条件的MN的方程，综合讨论结果可得答案．
证明：（I）设M（x1，y1），N（x2，y2），F（c，0）
则=（c-x1，-y1），=（x2-c，y2），
当λ=1时，=
∴c-x1=x2-c且-y1=y2
∴x1+x2=2c且-y1=y2
∵M、N两点在椭圆C上，
∴，
故，即|x1|=|x2|，由x1+x2=2c可得x1=x2=c
∴=（0，2y2），=（c+4，0）
∴•=0
∴；
【解析】
（Ⅱ）当λ=1时，不妨设M（c，），N（c，-），
•=（c+4）2-=，
因为a2=，b2=c2，
∴c2+8c+16=，
∴c=2，a2=6，b2=2，
故椭圆的方程为．
（III）×tan∠MAN=•sin∠MAN=2S△AMN=|AF||y1-y2|
当直线MN与x轴垂直时，|y1-y2|=，
|AF||y1-y2|=6×=4不满足条件
当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为：y=k（x-2），（k≠0）
由得（1+3k2）y2+4ky-2k2=0
∴|y1-y2|=
∴6×=6
即k4-2k2+1=0
∴k2=1，解得k=±1
故直线MN的方程为：y=±（x-2）
即x-y-2=0或x+y-2=0