Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n=2•3ⁿ+k（k∈R，n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足a_n=4，T_n为数列{b_n}的前n项和，试比较3-16T_n与 4（n+1）b_n+1的大小，并证明你的结论．

Answer

（I）利用递推关系可得，n≥2 时，an=Sn-Sn-1=4×3n-1由{an}是等比数列可得a1=S1=6+k=4从而苛求得k=-2，代入可求通项公式
（II）结合（I）可求得，根据通项公式的特点求和时可利用错位相减可求Tn，要比较3-16Tn 与
4（n+1）bn+1 的大小，可通过作差法可得，4（n+1）bn+1-（3-16Tn）=
通过讨论n的范围判断两式的大小
【解析】
（Ⅰ）由Sn=2-3n+k可得
n≥2 时，an=Sn-Sn-1=4×3n-1
∵{an}是等比数列
∴a1=S1=6+k=4∴k=-2，an=4×3n-1
（Ⅱ）由和an=4×3n-1得（6分）
Tn=b1+b2+…+bn
=

两式相减可得，

=
4（n+1）bn+1-（3-16Tn）=
而n（n+1）-3（2n+1）=n2-5n-3
当或＜0时，有n（n+1）＞3（2n+1）
所以当n＞5时有3-16Tn＜4（n+1）bn+1
那么同理可得：当
时有n（n+1）＜3（2n+1），所以当1≤n≤5时有3-16Tn＞4（n+1）bn+1
综上：当n＞5时有3-16Tn＜4（n+1）bn+1；
当1≤n≤5时有3-16Tn＞4（n+1）bn+1