Question

已知△ABC的顶点A，B在椭圆x²+3y²=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

Answer

（1）注意到直线AB和l平行，则斜率相等，得到直线AB的方程．再由以AB为底，计算三角形面积．
（2）由弦长公式算出AB，点到直线的距离算出BC，再根据勾股定理，得到AC的表达式，从而求出最大值．
【解析】
（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x．
设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
由得x=±1．
所以|AB|=．
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离．
所以h=，S△ABC=|•h=2．

（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m，
由得4x2+6mx+3m2-4=0．
因为A，B在椭圆上，
所以△=-12m2+64＞0．
设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则x1+x2=-，x1x2=，
所以|AB|=．
又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即|BC|=．
所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-（m+1）2+11．
所以当m=-1时，AC边最长，（这时△=-12+64＞0）
此时AB所在直线的方程为y=x-1．