Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x²=的焦点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足•，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明埋由．

Answer

（I）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2=的焦点，求出几何量，即可得出椭圆的标准方程；
（II）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量知识，即可求得结论．
【解析】
（I）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），则
∵椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2=的焦点，
∴
∵c2=a2-b2
∴a=2，c=1，
∴椭圆的标准方程为；
（II）若存在过点P（2，1）的直线l满足条件，则l的斜率存在
设方程为y=k（x-2）+1，代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2-8k（2k-1）x+16k2-16k-8=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则由△=32（6k+3）＞0，可得
且x1+x2=，x1x2=
∵
∴
∴[x1x2-4（x1+x2）+4]（1+k2）=
∴（1+k2）=
∴
∵，∴
∴存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足•，其方程为．