Question

已知函数f（x）=a（x²-2x+1）+1nx+1．
（I）当a=时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对∀x∈[1，+∞）f（x）≥x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）求导函数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对∀x∈[1，+∞），f（x）≥x恒成立，等价于当x≥1时，a（x2-2x+1）+1nx-x+1≥0恒成立，令h（x）=a（x2-2x+1）+1nx-x+1，只需h（x）≥0，即可求实数a的取值范围．
【解析】
（I）当a=时，f（x）=（x2-2x+1）+1nx+1
∴
∵x＞0，x+1＞0
∴当0＜x＜2时，f′（x）＞0，当x＞2时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（2，+∞）；
（II）当x≥1时，a（x2-2x+1）+1nx+1≥x恒成立，即当x≥1时，a（x2-2x+1）+1nx-x+1≥0恒成立
令h（x）=a（x2-2x+1）+1nx-x+1，只需h（x）≥0即可
求导函数，可得（x＞1）
（1）若a≤0，∵x＞1时，h′（x）＜0
∴h（x）在（1，+∞）上单调递减
∴h（x）≤h（1）=0，不满足题意；
（2）若a＞0，令h′（x）=0，可得
①0＜≤1，即a≥时，h（x）在（1，+∞）上为增函数
∴x≥1时，h（x）≥h（1）=0，满足题意；
②，即0＜a＜，h（x）在（1，）上单调递减
∴1＜x＜时，h（x）≤h（1）=0，不满足题意；
综上，a的取值范围是[，+∞）．