Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，若f（0）=0，曲线y=f（x）在点x=1处的切线l的斜率为3，且当x=，y=f（x）有极值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

Answer

（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点x=1处的切线l的斜率为3，且当x=，y=f（x）有极值，可得方程，即可求得a，b，c的值；
（2）确定y=f（x）在[-3，1]上的单调性，求出极值与端点的函数值，即可求最大值和最小值．
【解析】
（1）由题意知，c=0，∴f（x）=x3+ax2+bx…（3分）
∴f′（x）=3x2+2ax+b
当x=1时，切线的l的斜率为3，可得2a+b=0．①
当x=，y=f（x）有极值，∴=0
可得4a+3b+4=0．②
由①②解得a=2，b=-4．
所以，a=2，b=-4，c=0．…（7分）
（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2-4x
∴f′（x）=3x2+4x-4…（8分）
令f′（x）=0，可得x=-2或x=．

x [-3，-2） -2 （-2，） （，1]
f′（x） + - +
f（x） 极大值 极小值

∴f（x）在x=-2处取得极大值f（-2）=8．
在x=处取取极小值f（）=-．…（12分）
又f（-3）=3，f（1）=-1．
∴f（x）在[-3，1]上最大值为8，最小值为-．…（14分）