Question

已知函数f（x）=x³-x²+ax-a（a∈R）．
（Ⅰ）当a=-3时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与x轴有三个不同的交点，求a的取值范围．

Answer

（I）当a=-3时f'（x）=x2-2x-3，可得f'（x）的零点为x1=-1、x2=3，分别在区间（-∞，-1）、（-1，3）和（3，+∞）内讨论f'（x）的正负，即可得到函数的单调性，从而得到函数f（x）的极值；
（II）根据题意，求导数得f'（x）=x2-2x+a，从而得到a＜1时△＞0，方程f'（x）=0的两个不相等的实根
x1、x2满足x1＜x2，x1+x2=2且x1x2=a．化简f'（x1）=0得到a=-x12+2x，从而得到f（x1）=x1[x13+3（a-2）]，同理得f（x2）=x2[x23+3（a-2）]．由此将f（x1）f（x2）表示成关于a的式子，结合a2-3a+3＞0解得得a＜0，即得满足条件的实数a的取值范围．
【解析】
（I）当a=-3时，f（x）=x3-x2-3x+3
∴f'（x）=x2-2x-3．
令f'（x）=0，得x1=-1，x2=3┉┉┉┉┉┉┉┉（2分）
当x＜-1或x＞3时，f'（x）＞0；当-1＜x＜3时，f'（x）＜0；
∴在f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上单调递增；
在区间（-1，3）上单调递减；┉┉┉┉┉（4分）
∴当x=-1时，f（x）取得极大值为f（-1）=；当x=3时，f（x）取得极小值为f（3）=-6．┉┉（6分）
（II）∵f'（x）=x2-2x+a，∴△=4-4a=4（1-a）．┉┉┉┉┉┉┉┉（7分）
①若a≥1，则△≤0可得f'（x）≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增；
此时函数的图象与轴有且只有一个交点，不合题意．┉┉┉┉┉┉（9分）
②若a＜1，则△＞0，
f'（x）=0有两个不相等的实根，不妨设为x1、x2且x1＜x2
则x1+x2=2且x1x2=a
当x变化时，f'（x）、f（x）的取值情况如下表：

x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

∵x12-2x1+a=0，可得a=-x12+2x，
∴f（x1）=x13-x12+ax1-a=x13-x12+ax1+x12-2x1
=x13+（a-2）x1=x1[x13+3（a-2）]，┉┉┉┉┉┉┉┉（11分）
同理可得f（x2）=x2[x23+3（a-2）]．
∴f（x1）f（x2）=x1x2[x13+3（a-2）][x23+3（a-2）]
=a（a2-3a+3），┉┉┉┉┉┉┉┉（13分）
令f（x1）f（x2）＜0，结合a2-3a+3＞0得a＜0
此时f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．
综上所述，a的取值范围是（-∞，0）┉┉┉┉┉（14分）