Question

对于函数f（n）=（n∈N^*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）=0（k∈N^*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（ ）
A．f（n+1）-f（n）=1
B．f（n+k）=f（n）（k∈N^*）
C．α^f（n）=f（n+1）+αf（n）（α≠0）
D．α^f（n+1）=α-（α+1）f（n）（α≠0）

Answer

当n=1，2，3，4，…时，f（n）=的函数值为：1，0，1，0，…，然后对选项进行判断，即可得出结论．
【解析】
当n=1，2，3，4，…时，f（n）=的函数值为：1，0，1，0，…
对于A：f（2）-f（1）=-1，故A不成立；
对于B：f（n+1）≠f（n）不成立，故错；
对于C：n为偶数，则αf（n）=1，f（n+1）+αf（n）=1；n为奇数，则αf（n）=α，f（n+1）+αf（n）=α；
∴C正确；
对于D：αf（n+1）=α-（α+1）f（n）（α≠0）不成立，故错；
故选C．