Question

已知抛物线F：y²=4x
（1）△ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为k_AB，k_BC，k_CA，若A的坐标在原点，求k_AB-k_BC+k_CA的值；
（2）请你给出一个以P（2，1）为顶点、其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由．

Answer

（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），把B、C点左边代入抛物线方程，利用斜率公式计算kAB-kBC+kCA的值即可；
（2）先研究△PBC，四边形PBCD，五边形PBCDE，再研究n=2k，n=2k-1（k∈N，k≥2）边形的情形，最后研究n边形P1P2…Pn（k∈N，k≥3），按由特殊到一般的思路逐步得到结论；
【解析】
（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），
∵，，
∴kAB-kBC+kCA=+=-+=0；
（2）①研究△PBC，
kPB-kBC+kCP=-+=-+==1；
②研究四边形PBCD，
kPB-kBC+kCD-kDP=-+-=0；
③研究五边形PBCDE，
kPB-kBC+kCD-kDE+kEP=-+-==1；
④研究n=2k边形P1P2…P2k（k∈N，k≥2），其中P1=P，
有-…+=0，
证明：左边=+===0=右边；
⑤研究n=2k-1边形P1P2…P2k-1（k∈N，k≥2），其中P1=P，
有+-…+（-1）2k-2=1，
证明：左边=+===1=右边；
⑥研究n边形P1P2…Pn（k∈N，k≥3），其中P1=P，
有+-…+（-1）n-1=，
证明：左边=+（-1）n-1=[1+（-1）n-1]==右边．