Question

对于给定首项x＞（a＞0），由递推公式x_n+1=（x_n+）（n∈N）得到数列{x_n}，对于任意的n∈N，都有x_n＞，用数列{x_n}可以计算的近似值．
（1）取x=5，a=100，计算x₁，x₂，x₃的值（精确到0.01）；归纳出x_n，x_n+1，的大小关系；
（2）当n≥1时，证明：x_n-x_n+1＜（x_n-1-x_n）；
（3）当x∈[5，10]时，用数列{x_n}计算的近似值，要求|x_n-x_n+1|＜10^-4，请你估计n，并说明理由．

Answer

（1）利用数列递推式，代入计算，即可得到结论，同时可猜想结论；
（2）作差，利用条件，证明其大于0，即可得到结论；
（3）由题意，只要，由此可估计n的值．
（1）【解析】
∵x=5，a=100，xn+1=（xn+）
∴x1=（5+）≈4.74
同理可得x2≈4.67，x3≈4.65
猜想xn＞xn+1；
（2）证明：xn-xn+1-（xn-1-xn）==
∵；
∴xn-xn+1==＞0
∴xn＞xn+1
∴；
（3）【解析】
由（2）知＜…＜
由题意，只要，即2n＞104（x-x1）
∵
∴n＞=15.1
∴n=16．