Question

若数列{b_n}：对于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常数），则称数列{b_n}是公差为d的准等差数列．如：若c_n=是公差为8的准等差数列．
（I）设数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求证：{a_n}为准等差数列，并求其通项公式：
（Ⅱ）设（I）中的数列{a_n}的前n项和为S_n，试研究：是否存在实数a，使得数列S_n有连续的两项都等于50．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）：由已知an+an+1=2n（n∈N*），an+1+an+2=2（n+1），即可得出an+2-an=2（n∈N*）．即可证明{an}为准等差数列．分n为奇偶数即可得出其通项公式．                   
（Ⅱ）分当n为偶数时，当n为奇数时，求出Sn．                              
当k为偶数时，令Sk=50，得k=10．再分别令S9=50，S11=50得出a即可．
【解析】
（Ⅰ）∵an+an+1=2n（n∈N*）①
an+1+an+2=2（n+1）②
②-①得an+2-an=2（n∈N*）．
所以，{an}为公差为2的准等差数列．                       
当n为偶数时，，
当n为奇数时，；
∴．
（Ⅱ）当n为偶数时，；
当n为奇数时，
=．                              
当k为偶数时，，得k=10．
由题意，有；
或．
当a=10时，S9，S10两项等于50；当a=-10时，S10，S11两项等于50；
所以，a=±10．