Question

已知F（x）=f（x+）-1是R上的奇函数，a_n=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N^*），则数列{a_n} 的通项公式为（ ）
A．a_n=n-1
B．a_n=n
C．a_n=n+1
D．a_n=n²

Answer

由F（x）=f（x+）-1在R上为奇函数，知f（-x）+f（+x）=2，令t=-x，则+x=1-t，得到f（t）+f（1-t）=2．由此能够求出数列{an} 的通项公式．
【解析】
F（x）=f（x+）-1在R上为奇函数
故F（-x）=-F（x），
代入得：f（-x）+f（+x）=2，（x∈R）
当x=0时，f（）=1．
令t=-x，则+x=1-t，
上式即为：f（t）+f（1-t）=2．
当n为偶数时：
an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*）
=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]+f（）
=
=n+1．
当n为奇数时：
an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*）
=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]
=2×
=n+1．
综上所述，an=n+1．
故选C．