Question

设函数f（x）=sinxcosx+cos²x+a．
（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）当x∈[-，]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求f（x）的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积．

Answer

（1）先根据两角和与差的正弦公式将函数f（x）化简为y=Asin（wx+ρ）+b的形式，根据T=可求最小正周期，再由正弦函数的单调性确定单调区间．
（2）先根据x的范围求出2x+的范围，再由正弦函数的单调性求出最大值和最小值，进而可得a的值，从而确定函数f（x）的解析式，再得到f（x）的图象与x轴正半轴的第一个交点，最后根据微积分的知识求出面积．
【解析】
（1）f（x）==sin（2x+）+a+
∴T=π
由，得
故函数f（x）的单调递减区间是[]（k∈Z）
（2）∵-，∴-，∴-
当x∈[-]时，原函数的最大值与最小值的和（1+a+）+（-）=
∴a=0，∴f（x）=sin（2x+）+
f（x）的图象与x轴正半轴的第一个交点为（，0）
所以f（x）的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积
S==[-]=