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过点P(1,0)作曲线C:y=x2(x∈(0,+∞)的切线,切点为M1,设M1在x轴上的投影是点P1.又过点P1作曲线C的切线,切点为M2,设M2在x轴上的投影是点P2,….依此下去,得到一系列点M1,M2…,Mn,…,设它们的横坐标a1,a2,…,an,…,构成数列为{an}.
(1)求证数列{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)令manfen5.com 满分网,求数列{bn}的前n项和Sn
(1)要证数列{an}是等比数列,只需证明数列{an}的后一项比前一项是常数即可,可先对y=x2求导数,y=x2在切点处的导数,就是在该点处的切线的斜率,求出切线方程,就可找到切点在x轴上的投影的横坐标,再求相邻横坐标之商,看是否为常数,就可证出数列{an}是等比数列,再根据等比数列的通项公式求数列{an}的通项公式即可. (2)根据(1)中所求数列{an}的通项公式求出数列{bn}的通项公式,再用错位相减求前n项和Sn 【解析】 (1)对y=x2求导数,得y'=2x,切点是Mn(an,an2)的切线方程是y-an2=2an(x-an).(2分) 当n=1时,切线过点P(1,0),即0-a12=2a1(1-a1),得a1=2; 当n>1时,切线过点 所以数列{an}是首项a1=2,公比为2的等比数列. 所以数列{an}的通项公式为an=2n,n∈N*(6分) (2)∵,an=2n,∴ Sn=+++…+            ① 2Sn=++…++   ② ①-②,得-Sn=+++…+-=-=1--=1-
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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