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已知椭圆manfen5.com 满分网的离心率为manfen5.com 满分网,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1,且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于l1,垂足为点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;
(3)过椭圆C1的左顶点A做直线m,与圆O相交于两点R、S,若△ORS是钝角三角形,求直线m的斜率k的取值范围.
(1)先由离心率为 ,求出a,b,c的关系,再利用直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切,求出b即可求椭圆C1的方程; (2)把题中条件转化为动点M的轨迹是以l1:x=-1为准线,F2为焦点的抛物线,即可求点M的轨迹C2的方程; (3)先设出点R,S的坐标,利用△ORS是钝角三角形,求得,从而求出斜率k的取值范围. 【解析】 (1)由;(2分) 由直线 所以椭圆的方程是.(4分) (2)由条件,知|MF2|=|MP|.即动点M到定点F2的距离等于它到直线l1:x=-1的距离,由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是y2=4x.                     (8分) (3)由(1),得圆O的方程是 设 得(10分) 则; 由.①(12分) 因为= 所以.②(13分) 由A、R、S三点不共线,知k≠0.                              ③ 由①、②、③,得直线m的斜率k的取值范围是(14分) (注:其它解法相应给分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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