Question

有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币：①骰子出现1点时，不翻动硬币；②出现2，3，4，5点时，翻动一下硬币，使另一面朝上；③出现6点时，如果硬币正面朝上，则不翻动硬币；否则，翻动硬币，使正面朝上．按以上规则，在骰子掷了n次后，硬币仍然正面朝上的概率记为P_n．
（Ⅰ）求证：∀n∈N^*，点（P_n，P_n+1）恒在过定点（，），斜率为的直线上；
（Ⅱ）求数列{P_n}的通项公式P_n；
（Ⅲ）用记号S_n→m表示数列{}从第n项到第m项之和，那么对于任意给定的正整数k，求数列S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…的前n项和T_n．

Answer

（I）把骰子掷了n+1次，硬币仍然正面朝上的概率为Pn+1，此时有两种情况：第n次硬币正面朝上，其概率为Pn，且第n+1次骰子出现1点或6点，硬币不动；第n次硬币反面朝上，其概率为1-Pn，且第n+1次骰子出现2，3，4，5点或6点，求出相应的概率，即可得出结论；
（II）确定{}是首项为，公比为的等比数列，即可求数列的通项；
（III）解法一：确定S1→k，Sk+1→2k，…，S（n-1）k+1→nk，…，也成等比数列，从而可求和；
解法二：Tn=S1→k+Sk+1→2k+…+S（n-1）k+1→nk=a1+a2+…+ank，可得结论．
（Ⅰ）证明：设把骰子掷了n+1次，硬币仍然正面朝上的概率为Pn+1，此时有两种情况：
①第n次硬币正面朝上，其概率为Pn，且第n+1次骰子出现1点或6点，硬币不动，其概率为，
因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为．…（3分）
②第n次硬币反面朝上，其概率为1-Pn，且第n+1次骰子出现2，3，4，5点或6点，其概率为，
因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为．
∴，变形得 ．
∴点（Pn，Pn+1）恒在过定点（，），斜率为的直线上．…（6分）
（Ⅱ）【解析】
P=1，，
又由（Ⅰ）知：，
∴{}是首项为，公比为的等比数列，…（8分）
∴，
故所求通项公式为．…（10分）
（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知{}是首项为，公比为的等比数列，又
∵（k∈N*）是常数，
∴S1→k，Sk+1→2k，…，S（n-1）k+1→nk，…，也成等比数列，…（12分）
且
从而 ．…（14分）
解法二：Tn=S1→k+Sk+1→2k+…+S（n-1）k+1→nk=a1+a2+…+ank=．…（14分）